Eng. de Computação (UNOPAR 2011~2015)

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Dec 7

Lista de Coordenadas Esféricas - Cálculo Diferencial e Integral II

A temorosa lista final, Coordenadas Esféricas.
Enquanto nela temos as maiores contas, não precisamos de tanta análise de gráfico pra resolver os exercícios (é quase a mesma coisa de Cilíndricas nesse quesito, vai ter um exercício ou outro pra dar trabalho mas o resto é o resto). Mas enfim.

Utilidades:
 
Agora, aos exercícios!

 
  

 

3. Calcule o volume da região R formada pelas esferas x²+y²+z²=a² e x²+y²+z²=b², onde b > a.
Essa questão parece complicada a princípio, mas é apenas uma versão diferente de um exercício que já fizemos antes. Lembram, na lista de coordenadas polares, o exercício de região anular? Que tinha dois círculos, um dentro de outro, e precisávamos descobrir a área que o maior tinha, não-pertencente ao menor?
 
(lembram desse exercício? Agora imagine que isso daí é uma figura 3D, não 2D)

E vocês lembram como resolvemos a região anular, né? Montamos uma integral que ia do raio a ao raio b, etc.
Nesse caso, pois é, não muda quase nada. Exceto que não teremos uma integral em coordenadas polares e sim em coordenadas esféricas, então o que vai de ab não é o raio, e sim o ρ.

Mas esse é o primeiro limite, temos que estabelecer os outros dois. O do meio envolve o modo como será feito o giro de varredura de ϕ , e, bem, temos esferas regulares aí. Em esferas regulares, o giro de varredura costuma ser em 180°, o que dá, bem, π em radianos. É óbvio que começa em 0.

E o terceiro limite, bem, é o normal das coordenadas cilíndricas que já estamos acostumados. É uma esfera completa, vai de 0 a 2π.

Montada a integral, vamos resolver.
 

Resolvido? Próxima.

Bem, esse exercício (um pouco modificado, claro) foi tipo o FATALITY na prova. Inclusive eu ainda tenho um ódio absurdo dele porque foi ele que eu errei. Mas isso não vem ao caso, vamos resolvê-lo de uma vez.
Lembram daquele exercício do cilindro+parabolóide das coordenadas cilíndricas? Pois é, assim como o 3 era o Hard Mode das coordenadas polares, esse daqui é o Hard Mode das coordenadas cilíndricas.

O que acontece é o seguinte: temos duas figuras, uma esfera e, dentro dessa esfera, um cone. Precisamos achar o volume que pertence à esfera e não ao cone, mais ou menos assim:
 
(o desenho muito provavelmente deve ter coisas incorretas, mas entendendo aonde se deve calcular o volume, basta)

Já que já sabemos o que vamos fazer, vamos montar a integral, que é muito mais fácil do que parece porque o exercício nos faz o precioso favor de dizer TUDO o que precisamos.

A função que vamos colocar na integral? Check, é aquele z junto com a raíz. Claro, tudo convertido para coordenadas esféricas.

O limite de ρ? Facílimo. x²+y²+z²=a² (no exercício foi colocado errado), então vai de 0 a a.
E o limite de ϕ ? Também. O exercício nos diz que o ângulo entre o eixo z e a superfície é α , então vai de 0 a α. Oras.
O limite de θ é o único que não nos é dado, mas já manjamos o suficiente para saber que vamos fazer uma varredura de círculo completa, 360°. 0 a 2π.

Então? Integral montada, vamos trabalhar. Convertendo os valores antes, claro.
 
Difícil? Mas não impossível. Ainda mais agora, que vocês sabem como faz. Se entenderam minha explicação.
(sempre bom lembrar que, se não entenderam, eu faço questão que me perguntem ou até mesmo enviem explicações melhores, não tem orgulho nenhum em blog feito pra ajudar uns aos outros)


NÃO CONFUNDAM O EXERCÍCIO COMO EU FIZ, SÉRIO. Aquele xyz não é uma mera representação de f(x, y, z), estamos integrando xyz. Cuidado.

De qualquer forma, vamos ler o exercício como um todo, porque parece bem fácil: temos uma esfera xyz de rho 4, e queremos calcular apenas o volume do primeiro octante dela. Primeiro octante, lembram?

 
Exatamente, vamos calcular o volume nessa proporção aí. O primeiro quarto da figura. Usando aquela função xyz.

Só que não é simplesmente assim, integrar xyz e pronto. Temos que considerar que estamos pegando apenas uma parte da esfera, e com isso, as duas varreduras mudam. Mas não se preocupe, essa parte não é assim tão crítica. Pelo contrário, não é muito difícil de decifrar.

Primeiro, se estamos pegando 1/4 da esfera que permite um giro de até 360°, theta será obviamente 1/4 de 360°. Em radianos, isso fica 1/4 de 2pi, o que seria pi/2. E com isso, concluímos que theta vai de 0 a pi/2.

Segundo, e bem mais complicado de entender: a varredura phi. Pra falar a verdade, pela figura, eu não conseguiria deduzir - confesso que passei bem falho nessa parte, porém eu coloquei a fórmula para o phi logo no início, né? Então, foi justamente pra esse exercício.
Ela não seria necessária se fossemos deduzir na figura, mas como eu deveria uma explicação completa pra vocês, vou pelo caminho que dominei, que é a fórmula matemática em si.
Lembrando que, em uma esfera, rho é equivalente ao raio. Porque x²+y²+z²=r²x²+y²+z²=rho². Logo, pela função x²+y²+z²=16, podemos determinar que rho e o raio são a raíz de 16, que é 4.
Colocando 4 nos dois lugares da fórmula do phi:
 
Perdão se soar mais complicado, não dispenso explicações melhores, como sempre.
Mas bem, agora sabemos que a varredura phi vai de 0 a pi/2 também.

Já determinamos que rho é 4, né? Então temos a integral quase montada, só converter o resto para coordenadas esféricas e começar a patifeira.
 

 
 

Pois é, gente. Ninguém falou que a integral seria fácil, também. Sempre bom, quando for trabalhar com coordenadas esféricas, estar com a trigonometria muito bem afiada - porque os exercícios VÃO cobrar.

6. Faça o exercício 5 agora usando coordenadas cilíndricas.
Bem, galera. Esse exercício é basicamente reanalisar o outro em outras coordenadas. Pra falar a verdade, só muda uma coisa: não sabemos a altura z pra colocar na integral.
Mas primeiro vamos falar do que temos, depois voltamos pra altura z.

Varredura theta: não muda, continua de 0 a pi/2.
Raio r: já achamos o raio pra resolver a questão do ângulo phi na 5, ele também é 4.

Ótimo, estamos situados no que temos, agora vamos falar de altura z.
Lembram dos piores momentos de coordenadas cilíndricas, e integrais triplas, aonde precisávamos isolar a variável para colocar na integral?
Pois é, eles estão de volta. Mas só pra um limite, felizmente.

Queremos saber como vamos colocar z na integral e, bem, a única saída é pegá-lo na função x²+y²+z²=16 e isolá-lo.
z²=16-x²-y²
z=sqrt(16-x²-y²)
E como estamos discutindo coordenadas cilíndricas, já podemos transformar x e y diretamente:
z=sqrt(16-r²)
Esse é o limite final, e apenas. Analise bem a figura. Note que, se estamos discutindo apenas um octante, a altura começa essencialmente em 0. Então z vai de 0 a sqrt(16-r²).

Dá pra montar a integral? Sim. Só substituir os termos restantes.