Eng. de Computação (UNOPAR 2011~2015)

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Dec 6

Lista de Integrais Triplas - Cálculo Diferencial e Integral II

LISTA DE INTEGRAIS TRIPLAS
Ah, a temerosa… Honestamente, acho a mais chata de todas as listas. Embora todos tenham a impressão de que coordenadas esféricas sejam o pior conteúdo do semestre, só as triplas têm essa chatice desigual de ter de imaginar QUALQUER tipo de figura.
Esféricas, bem, é só imaginar algo relacionado a esferas ou cones e montar equações.

Mas ok, nada de novo a apresentar a vocês aqui, vamos direto aos exercícios.

1. Calcule a integral iterada.

1………………….

 
Olha. Tá, é uma integral tripla. Mas convenhamos, é muito fácil; não tem segredo nenhum.
 
2………………….

 
 

 

3………………….


 
 

4………………….


 

5………………….

 
ESSA integral é o Hard Mode desse exercício. “Ah, mas você disse que não tem segredo!!!” E não tem. Mas é natural que você se perca nela e tenha que apagar meia página de conta, e isso mais de uma vez.
Pra facilitar, vou usar ao extremo a técnica de colocar coisas pra fora da integral. Note a separação:
 

6. Outra mais difícil que as primeiras, mas nada tão monstruoso quanto a quinta.
 
(do fundo do coração, torço pra que esteja inteligível)

7-10. Se f é uma função contínua arbitrária de três variáveis e Q é a região exibida na figura, expresse  como uma integral tripla iterada de seis maneiras diferentes.

Sólido 7

O exercício que temos aqui é o seguinte: não temos que resolver integral nenhuma, mas sim olhar pra figura, pras fórmulas e montar seis integrais diferentes que descubram o volume.
Tudo o que precisamos aqui é saber o básico de análise de figuras, e saber jogar com as equações. Não tem muito segredo e, após resolver esse primeiro, os outros serão fáceis de resolver de olhos fechados.

A figura dispensa explicações, e devemos partir para montar a integral direto.
Existem seis maneiras diferentes de montar a integral, e eles dependem da ordem dos diferenciais:
1. dxdydz
2. dxdzdy
3. dydxdz
4. dydzdx
5. dzdxdy
6. dzdydx

Pois é. O exercício pede pra que você mostre todas essas seis, montadinhas, e corretas. O jeito de tirar prova real é resolvendo as integrais e vendo se todas dão o mesmo resultado, mas é claro que não vamos resolver dez mil integrais se não é necessário então confirmaremos apenas na calculadora (como suponho que esteja estudando no computador, tenha a sua Wolfram Alpha, MATLAB ou Microsoft Mathematics do lado).
Mas vamos logo.

dxdydz
Como essa é a nossa primeira integral, é a que mais nos vai dar trabalho. As outras sempre vão reaproveitar alguma coisa de alguma que a gente já resolveu antes.
Primeiro passo: limites de dx. Como a integral começa em dx, o limite da frente é baseado na função f(x) considerando TODAS as variáveis. O x começa em 0 (vemos pela figura), e vai crescendo dependendo de y e z. Conseguimos achar essa dependência isolando x da função completa:
x+2y+3z = 6 -> x = 6-2y-3z
E esse é o limite final de dx (de 0 a 6-2y-3z).
Segundo passo: limites de dy. Agora a função já não tem mais x, mas y continua dependente de z para crescer. Sabemos que y TAMBÉM inicia em 0, mas não podemos dizer que ele vai simplesmente de um ponto a outro. Podemos descobrir sua dependência pegando a função anterior, desconsiderando o eixo x e eliminando y:
2y+3z = 6 -> 2y = 6-3z -> y = (6-3z)/2
E aí está nosso segundo limite final.
Terceiro passo: limites de dz. O mais fácil passo, já que trabalhamos apenas com algarismos, sem nenhuma variável aqui (o último diferencial é independente). Pela figura, vemos que ele vai de 0 a 2. Se quiser descobrir esse valor, apenas pegue a função original, elimine o eixo x e y e isole z:
3z = 6 -> z = 6/3 = 2
Não é isso? Integral montada:
 
A integral não é irregular: não sobra nenhuma variável, temos o resultado fixo. E o resultado é 6uV. Pode fazer na calculadora, é isso daí mesmo. Se essa integral estiver certa, TODOS os resultados depois desse devem ser 6uV.

dxdzdy
Primeiro passo: limites de dx. Uma consideração a fazer é que o limite de uma variável quando ela é a primeira nunca muda, e quando ela é a última também. Isso ocorre porque na primeira ela SEMPRE será dependente de todas as variáveis, e na última ela SEMPRE será independente de variáveis. No entanto, no meio, ela estará dependendo de variáveis diferentes, por isso cada caso é único.
Explicado, sabemos que os limites são de 0 a 6-2y-3z.
Segundo passo: limites de dz. Já sabemos como pegar, só não o temos. É meio caminho andado. Peguemos a função original e eliminemos o eixo x, agora isolemos z:
2y-3z = 6 -> 3z = 6-2y -> z = (6-2y)/3
Pronto.
Terceiro passo: limites de dy. Podemos ver pela figura que y vai de 0 a 3, e podemos provar isso eliminando todos os outros eixos da função e isolando y:
2y = 6 -> y = 6/2 = 3
Simples, não? A integral fica:

Resultado: 6uV novamente. Parece que estamos indo pelo caminho certo.

dydxdz
Primeiro passo: limites de dy. Se você não se lembra como descobrimos dx na operação passada, simplesmente pegamos a função total e o isolamos. Faremos o mesmo com dy agora:
x+2y+3z = 6 -> 2y = 6-x-3z -> y = (6-x-3z)/2
Segundo passo: limites de dx. Pegamos a função original e eliminamos o eixo y, depois isolamos x, como já de costume:
x+3z = 6 -> x = 6-3z
Terceiro passo: limites de dz. Já sabemos que z vai de 0 a 2.
 

dydzdx
Primeiro passo: limites de dyJá temos: (6-x-3z)/2
Segundo passo: limites de dz. Pegamos a função original e eliminamos o eixo x, depois isolamos z:
x+3z = 6 -> 3z = 6-x -> z = (6-x)/3
Terceiro passo: limites de dx
. Bem, esse é inédito. Vemos na figura que vai de 0 a 6, e provamos ele eliminando todos os outros eixos da função, veja:
x = 6
 

dzdxdy
Primeiro passo: limites de dz. Isolemos z da função inicial:
x+2y+3z = 6 -> 3z = 6-x-2y -> z = (6-x-2y)/3
Segundo passo: limites de dx
. Pegamos a função inicial e removemos o eixo z, agora isolamos x:
x+2y = 6 -> x = 6-2y
Terceiro passo: limites de dy. Já sabemos que vai de 0 a 3.
  

dzdydx
Primeiro passo: limites de dz. Já temos. (6-x-2y)/3
Segundo passo: limites de dy. Removemos o eixo z, isolamos y:
x+2y = 6 -> 2y = 6-x -> y = (6-x)/2
Terceiro passo: limites de dx
. Sabemos que vai de 0 a 6.
 

Respondido o exercício? Sim. Mas vem mais três chatíssimos por aí. Como eu disse, essa lista é definitivamente a mais chata.

~

Sólido 8

Esse exercício é mais sossegado porque o limite de z é constante (de 0 a 2), ele não depende de nenhuma variável. Resta apenas trabalho com x e y e, bem, é mais fácil do que parece. Como ele pede integrais iteradas, presumo que seja desnecessário trabalhar com coordenadas cilíndricas (próxima lista), embora se fossemos calcular DE FATO o volume seria o método mais adequado.

dxdydz
Primeiro passo: limites de dx. Pegamos a função completa e isolamos x:
x²+y² = 9 -> x² = 9-y² -> x = sqrt(9-y²)
Mas a função começa em 0? Não. E não podemos dizer que ela começa em lugar constante. Ela começa no mesmo lugar que o limite final, só que invertendo o sentido do eixo. Logo, dx vai de -sqrt(9-y²) a sqrt(9-y²).
Segundo passo: limites de dy. Eliminamos o eixo x da função e isolamos y:
y² = 9 -> y = sqrt(9) = +/-3
Limite final e limite inicial, respectivamente.
Terceiro passo: limites de dz. 0 a 2, constante.
Aí você me diz: “é estranho, né!!! Temos duas integrais que temos constantes!!!” Sim, temos, mas não se preocupe, é isso daí mesmo. Dá pra você fazer uma analogia com o fato de, em coordenadas cilíndricas, você ter um limite de 0 a z para a altura… Mas eu não vou fazer isso.
 
O resultado vai dar 18π . Não me pergunte como, eu não resolveria uma integral dessas sem convertê-las pra coordenadas cilíndricas NUNCA. Envolve uma manipulação trigonométrica absurda (de onde mais brotaria um π?), e eu prefiro não passar por isso.

dxdzdy
A integral não vai mudar praticamente nada. Só vamos inverter dy e dz e seus respectivos limites, que são as constantes. Quer ver?
Primeiro passo: limites de dx. Temos o mesmo da anterior.
Segundo passo: limites de dz. Constantes, 0 a 2.
Terceiro passo: limites de dy. É o mesmo da anterior.
Logo…
 

Simples, né?

dydxdz
Agora sim as coisas vão mudar um pouquinho, mas bem pouquinho. Como trabalhamos com um círculo de altura elevada, é natural que mudemos apenas um terminho ou outro.
Primeiro passo: limites de dy. Função inicial, isola y. Lembram?
x²+y² = 9 -> y² = 9-x² -> y = sqrt(9-x²)
Obviamente, indo de -sqrt(9-x²) a sqrt(9-x²) porque o eixo y não começa em 0.
Segundo passo: limites de dx. Vendo na figura, começa em -3 e termina em 3. Isolando-o na função esquecendo do eixo y, bem, também dá +/-3. Que são os limites final e inicial.
Terceiro passo: limites de dz…zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz.
 

dydzdx
Não vou nem colocar os passos aqui. Só troquem dx por dz, só.
 

dzdxdy
Para ser bem simples: vamos lembrar todas as outras partes, porque elas serão úteis. dz é de 0 a 2, então tudo o que nos sobra é uma integral dupla dxdy. Já sabemos como fica dx, e já sabemos como fica dy, porque já fizemos dxdydz. Basta repeti-las:

 
dzdydx:
dz de 0 a 2, integral dupla dydxdz. Só olhar em outro exercício e repetir:
 
Todas elas dão o mesmo resultado, de acordo com a calculadora. Imagino que seja um resultado concreto.

~

Sólido 9
 
Essa é nos moldes da primeira, questão de ir isolando eixos e ignorando eixos. Facílima, só consome tempo.

dxdydz
Limites dx: z = 9-4x²-y² -> z+4x² = 9-y² -> 4x² = 9-y²-z -> x² = (9-y²-z)/4 -> x = sqrt((9-y²-z)/4)
Eixo vai de -sqrt((9-y²-z)/4) a sqrt((9-y²-z)/4), porque faz parte do círculo.
NOTA: na resposta da lista está sqrt((9-y²-z)/2), mas eu só consigo imaginar que isso aconteça porque o /2 está FORA da raíz embora não pareça.
Penso que seja isso: x = sqrt(9-y²-z)*sqrt(1/4) = sqrt(9-y²-z)/2
Posso estar errado, e em um erro SÉRIO porque isso interfereria no resultado final. Se me arranjarem uma teoria melhor, ficarei grato.
Limites dy: z = 9-y² -> z+y² = 9 -> y² = 9-z -> y = sqrt(9-z).
Vai de -sqrt(9-z) a sqrt(9-z).
Limites dz: z = 9.
Nada de +/- aqui, ele começa em 0. Tem que ser um valor específico.

dxdzdy
Limites dx: já temos.
Limites dz: z = 9-y², bem fácil, rs. Começa em 0, porque é o eixo z, note a figura.
Limites dy: 0 = 9-y² -> y² = 9 -> y = sqrt(9) = +/-3

dydxdz
Limites dy: z = 9-4x²-y² -> z+y² = 9-4x² -> y² = 9-4x²-z
Limites dx: z = 9-4x² -> z+4x² = 9 -> 4x² = 9-z -> x² = (9-z)/4 -> x = sqrt((9-z)/4) -> x = sqrt(9-z)/2
(ocorre o mesmo problema aqui que ocorreu com dx mais pra cima)
Limites dz: já temos.

dydzdx
Limites dy: já temos.
Limites dz: z = 9-4x² (e começa em 0)
Limites dx: 0 = 9-4x² -> 4x² = 9 -> x² = 9/4 -> x = sqrt(9/4) = +/-3/2

dzdxdy
Limites dz: err… z = 9-4x²-y² (começando em 0)
Limites dx0 = 9-4x²-y² -> 4x² = 9-y² -> x² = (9-y²)/4 -> x = sqrt((9-y²)/4) -> x = sqrt(9-y²)/2 (começando em -sqrt(9-y²)/2)
Limites dy: já temos.

dzdydx
Limites dz: já temos.
Limites dy: 0 = 9-4x²-y² -> y² = 9-4x² -> y = sqrt(9-4x²) (começando em -sqrt(9-4x²)
Limites dx: já temos.

O resultado final de todas as integrais montadinhas e bonitinhas é esse:
 

Enfim, próximo e último do tipo. Mas não acredite que o pior está acabando, ainda temos exercícios torturantes de DESENHAR a figura antes de montar a integral. Então, é, o pior ainda está por vir.

~

Sólido 10

Nada diferente do comum aqui, exceto que TODOS os lados vão de -(resultado) a +(resultado) porque é uma figura simétrica nos dois eixos.

dxdydz
Limites dx: 36x²+9y²+4z² = 36 -> 36x² = 36-9y²-4z² -> x² = (36-9y²-4z²)*1/36 -> x = sqrt(36-9y²-4z²)*sqrt(1/36) = sqrt(36-9y²-4z²)/6 (considerando o eixo negativo nos limites iniciais)
Limites dy: 9y²+4z² = 36 -> 9y² = 36-4z² -> y² = 36-4z²*1/9 -> y = sqrt(36-4z²)*sqrt(1/9) = sqrt(36-4z²)/3 (considerando o eixo negativo nos limites iniciais)
Limites dz: 4z² = 36 -> z² = 36/4 = 9 -> z = sqrt(9) = +/-3

dxdzdy
Limites dx: já sabemos.
Limites dz: 9y²+4z² = 36 -> 4z² = 36-9y² -> z² = 36-9y²*1/4 -> z = sqrt(36-9y²)*sqrt(1/4) = sqrt(36-9y²)/2 (considerando o eixo negativo nos limites iniciais)
Limites dy: 9y² = 36 -> y² = 36/9 = 4 -> y = +/-2

dydxdz
Limites dy36x²+9y²+4z² = 36 -> 9y² = 36-36x²-4z² -> y² = 36-36x²-4z²*1/9 -> y = sqrt(36-36x²-4z²)*sqrt(1/9) = sqrt(36-36x²-4z²)/3 (considerando o eixo negativo nos limites iniciais)
Limites dx: 36x²+4z² = 36 -> 36x² = 36-4z² -> x² = 36-4z²*1/36 -> x = sqrt(36-4z²)*sqrt(1/36) = sqrt(36-4z²)/6 (considerando o eixo negativo nos limites iniciais)
Limites dz: já sabemos.

dydzdx
Limites dy: já sabemos.
Limites dz: 36x²+4z² = 36 -> 4z² = 36-36x² -> z² = 36-36x²*1/4 -> z = sqrt(36-36x²)*sqrt(1/4) = sqrt(36-36x²)/2 (considerando o eixo negativo nos limites iniciais)
Limites dx: 36x² = 36 -> x² = 36/36 = 1 -> x = sqrt(1) = +/-1

dzdxdy
Limites dz: 36x²+9y²+4z² = 36 -> 4z² = 36-36x²-9y² -> z² = 36-36x²-9y²*1/4 -> z = sqrt(36-36x²-9y²)*sqrt(1/4) = sqrt(36-36x²-9y²)/2 (considerando o eixo negativo nos limites iniciais)
Limites dx: 36x²+9y² = 36 -> 36x² = 36-9y² -> x² = 36-9y²*1/36 -> x = sqrt(36-9y²)*sqrt(1/36) = sqrt(36-9y²)/6 (considerando o eixo negativo nos limites iniciais)
Limites dyjá sabemos.

dzdydx
Limites dz: já sabemos.
Limites dy: 36x²+9y² = 36 -> 9y² = 36-36x² -> y² = 36-36x²*1/9 -> y = sqrt(36-36x²)*sqrt(1/9) = sqrt(36-36x²)/3 (considerando o eixo negativo dos limites iniciais)
Limites dx: já sabemos.

As integrais ficam:
 

E essas eu ficaria muito feliz que alguém confirmasse a resposta, porque a calculadora parece não aguentar integrais desse porte.

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

11-20. Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações, e use uma integral tripla para achar seu volume.

Sólido 11
z+x² = 4; y+z = 4; y = 0, z = 0
Confuso? Tivemos um exercício semelhante na primeira lista de integrais duplas. Esse é parecido, só que 1,5x pior. Primeiramente, vamos montar o gráfico de z+x²=4. Pra facilitar, isolamos z:
z = 4-x²
z = 0, x = +-2; z = 1, x = +-1,73; z = 2, x = +-1,41; z = 3, x = +-1; z = 4, x = 0;
Não é necessário colocar nenhum valor de z abaixo de 0, porque ele está limitado logo naquele z = 0 ao lado das equações.
 
(versão feia e bobona do gráfico z = 4-x²)

Ok, né, não temos volume nenhum a tirar disso daí ainda… Mas calma! Ainda tem muita coisa pra fazer. Tá vendo aquela função y+z=4 ali acima? Vamos ter que usar ela também.
y = 0, z = 4; y = 1, z = 3; y = 2, z = 2; y = 3, z = 1; y = 4, z = 0;
Atualizando o gráfico:
 
(o gráfico z = 4-x² com a reta y+z=4, ou, se preferir, z = 4-y)
Mas ainda não é suficiente, né? Precisamos completar esse gráfico.
Vamos pensar o seguinte: temos uma função que delimita xz, e uma que delimita yz. Precisamos limitar xy também, mas como vamos fazer isso?
A resposta é: “juntando” as outras duas funções. Precisamos relacionar todas as funções:
z = 4-x²
z = 4-y
Vamos usar as duas ao mesmo tempo.
z = 0, x = +-2, y = 4;
z = 1, x = +-1,73, y = 3;
z = 2, x = +-1,41, y = 2;
z = 3, x = +-1, y = 1;
z = 4, x = 0, y = 0;

(gráfico das três funções juntas, totalmente feito no Paint e, graças a isso, com uma assimetria insuperável)

É esse o monstrinho que temos que calcular volume. Mas espero que tenha aprendido a analisar gráficos bem com o último exercício, porque, se você o fez, não terá muita dificuldade em entender o que vou fazer aqui:
Temos 2 funções, certo?
z+x² = 4
y+z = 4
Ótimo! Então podemos trabalhar da mesma forma que trabalhamos no exercício passado, só que sem a pressão de ter que montar seis integrais diferentes.
Vamos montar uma integral dydzdx, que é a melhor combinação, junto com dxdzdy, porque se dz não estiver no meio teremos de manipular as funções usando a substituição (não integral por substituição, mas substituição de sistemas lineares).

Limites de dy: y+z = 4 -> y = 4-z (mínimo 0)
Limites de dz: z+x² = 4 -> z = 4-x² (mínimo 0)
Limites de dx: x² = 4 -> x = sqrt(4) = +-2 (máximo +2, mínimo -2)
O exercício diz que é necessário descobrir o volume de fato, então além de montar a integral, vou resolvê-la pra vocês. :) Dessa vez aplicando o método da simetria para dx, porque são dois lados idênticos e só precisamos calcular um deles pela integral e multiplicá-lo por 2.
 

~~~

Sólido 12
x²+z² = 4, y²+z² = 4

Honestamente, não lembro desse exercício, enquanto o outro ao menos quando eu terminei o gráfico eu falei “poxa, é isso mesmo!”. Vamos ver no que vai dar, seguiremos os mesmos passos do sólido anterior.

x²+z² = 4
Isso é um cilindro deitado, espero que sua geometria analítica esteja boa pra pegar o gráfico na hora em que ele lhe é mostrado.
 
(só a pontinha do cilindro de raio 2)

y²+z² = 4
Bem, isso é um círculo, risos. Honestamente não sei como encaixar os dois na mesma figura sem tornar tudo confusíssimo, mas vou tentar de qualquer forma.
 
(“que coisa zoada!”)

Ok, agora vamos relacionar as equações:
x²+z² = 4
y²+z² = 4
Vamos isolar z porque ele aparece em ambas:
z = sqrt(4-x²)
z = sqrt(4-y²)
Podemos ver que para z, x e y serão equivalentes.
z = 0, x = y = +-2;
z = +-1, x = y = +-1,73;
z = +-2, x = y = 0;
E é isso daí mesmo, qualquer valor fora do raio de -2 a 2 que você colocar vai fazer a raíz dar valor negativo.

E pelo que parece, acabamos pegando aquela figura completa pra calcular o volume.
Bem, podemos calcular da mesma forma que fizemos o outro, acho. Uma integral dydzdx, porque dz é uma função que funciona pras outras duas, etc.

Limites de dy: y²+z² = 4 -> y² = 4-z² -> y = sqrt(4-z²) (-sqrt(4-z²) a sqrt(4-z²))
Limites de dz: x²+z² = 4 -> z² = 4-x² -> z = sqrt(4-x²) (-sqrt(4-x²) a sqrt(4-x²))
Limites de dx:
x² = 4 -> x = sqrt(4) = +-2

 
E, claro, nada mais natural que eu não saber resolver essa integral.

Provavelmente dá pra resolver por coordenadas esféricas, mas vá, é uma lista de integrais triplas apenas, não vamos complicar tanto. Ou ainda, posso deixar pra depois porque estou cansado. E porque não é realmente necessário, vamos terminar de resolver o necessário.

~~

Sólido 13 
Holy shit, esse é bom.

y = 2-z², y = z², x+z=4; x = 0
E eu sinceramente nem consigo resolver. Tentei de um monte de jeito, e não consegui. Talvez eu esteja cansado demais, ou talvez eu não consiga mesmo. Estou livre pra quem quiser resolver e me enviar, e qualquer dia desses posso aparecer com a solução porque é assim que funciona matemática (saudades PIBIC Jr.), mas por enquanto… Chega.