Eng. de Computação (UNOPAR 2011~2015)

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Dec 4

Lista de Integrais Duplas - Cálculo Diferencial e Integral II

Como aparentemente não foi pouca gente que ficou pra exame na matéria, vou passar as listas todas resolvidas aqui com uma explicação pra tentar ajudá-los um pouco.

LISTA DE INTEGRAIS DUPLAS
1. Estabeleça uma integral dupla para calcular o volume do sólido.
Sólido 14 

Eu sei que o terror da molecada é tirar os limites de uma integral pra sólidos nessas coordenadas (cartesianas), mas vamos lá. O sólido possui três eixos: x, y e z, o que significa que vamos calcular volume - até aí tudo bem, mas isso significa ou que teremos uma integral dupla COM uma função já determinada, ou que teremos uma integral tripla.
No caso, como a lista é de integrais duplas, presumimos que teremos de usar a primeira opção.

Temos como fazer seis resoluções diferentes, obviamente vou pegar a que acredito ser mais fácil.
Uma integral genérica dessas seria:

Claro, poderíamos trocar f(z) por f(y) e dy por dz, inverter a sequência na ordem que quisermos. Mas há a condição básica: nesse exemplo, f(z) NÃO PODE conter nenhuma variável z (tem que sobrar só y e/ou x), e os limites de dy NÃO PODEM conter nenhuma variável z ou y (tem que sobrar só x), e os limites de dx devem ser algarismos.
Nesse caso, podemos pegar f(z) mesmo (4-x²) para iniciar a integral. Analisando o eixo x e o eixo z separadamente, é a curvinha que a figura faz de (x = 2; z = 0) a (x = 0; z = 4). Com as outras integrais, trabalharemos pra fazer o preenchimento até y = 4.
Temos agora:

Precisamos dos limites. Como já temos a função z ali, podemos esquecer completamente do eixo z pra trabalhar nos limites agora. Resta só x e y. A única função com y que temos é x+y=4, logo y = 4-x (limite final).
Analisando a figura, podemos ver que o eixo x no máximo vai até 2, mas na figura (vale a pena lembrar que equação não define tudo na integral, a figura é o mais essencial) y não se inicia em 2 e sim em 0, logo o limite inicial de dy é 0.

Os limites de dx são fáceis: já discutimos que x vai de 0 a 2, logo:

Agora é só resolver a integral.

É até desnecessário esse cálculo, porque o exercício pede pra estabelecer as integrais apenas. Mas por via das dúvidas…

Sólido 15
 
Como não preciso explicar como deve ser o formato da integral, vamos direto aos limites. Temos que colocar uma função inicial para a dupla, como da outra vez já deu certo, pegaremos f(z) (6-x) novamente e colocaremos.

Temos agora que observar que temos a função x pronta, e a função y não. É muito mais fácil você colocar os limites de x como iniciando em 0 (note que a figura para no eixo y, não vai mais pra trás) e terminando na função já dada (4-y²). Se fossemos deixar em dy, teríamos de descobrir a equação para y, que seria:
x = 4-y²
x-4 = -y²
y² = 4-x
y = sqrt(4-x)
E então, vai encarar integrar raíz de 4-x? Pode ser que sim, mas não quando temos aquela outra função pronta ali.
 
(nota que eu troquei dx e dy, e isso é ESSENCIAL, 4-y² é f(x), não f(y))
Agora para os limites finais, note que a figura se inicia em y = 0 e termina em y = 2. Só aí já temos os limites, mas pra confirmar, observamos que temos o y máximo quando x é 0, logo 0 = 4-y²… E não é muito difícil saber que y, nessa operação, é 2.
 
Prontinho. :) Só resolver.

Houve uma manipulação legal de divisores ali embaixo, é muito bom treinar bastante a matemática básica, lembrem-se dos ensinamentos da Jenai.

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2. Esboce o sólido no primeiro octante delimitado pelos gráficos das equações e ache seu volume:
Sólido 23: 
x²+z² = 9; y = 2x, y = 0; z = 0
Desenhar sólido parece difícil, a princípio. Faremos de modo bem prático.
PRIMEIRAMENTE, temos a equação do cilindro ali, x²+y² = r². Se 9 é o raio ao quadrado, o raio é 3. Então temos que desenhar um cilindro de raio 3.
Se as variáveis do cilindro são x e z, então ele deve ser desenhado deitado.
 
Agora que se tem o cilindro, precisamos usar a outra equação, y = 2x. Sabemos que y começa em 0 (aquele y = 0 é um dos limites), mas não sabemos aonde y acaba… Na verdade podemos saber facilmente, quer ver?
Precisamos descobrir qual é o máximo de x, e por uma equação sem limites como y = 2x fica difícil, mas por x²+z²=9 é fácil (lembrando que AS DUAS equações são consideradas). A lógica é que quanto maior x, menor z, e vice-versa… Então quando z é 0, x é máximo, logo x²=9, x = sqrt(9) = 3.
Jogando esse x em y = 2x, temos que o y máximo é 6.
O desenho do corte fica assim:

(perdão pelo gráfico horrível mas lurei…até onde pude)
Deu pra entender? Tudo isso que está rabiscado é aonde deve se calcular o volume.

E pra calcular, agora? Já que temos o gráfico, podemos montar a integral.
Não que seja pra fazer isso durante todos os exercícios, mas já que estamos acostumados com começar com f(z), peguemos f(z) para “inaugurar” nossa integral. x²+z²=9 -> z²=9-x² -> z=sqrt(9-x²) 
 
E para os limites? Se estamos usando dxdy, o limite de x tem que ter apenas y. Não podemos integrar com relação a x usando a equação do cilindro, porque ela tem z. Então só nos resta adaptar y = 2x, que fica x = y/2.

Mas antes mesmo de montar a integral, pergunto, você gostaria mesmo de integrar raíz de 9-x², sem nenhum x ali pra cortar por substituição? Aprender conteúdo novo usando integral por partes não dá, né. Então vamos mudar as coisas.
Vamos mudar os limites: ao invés de dxdy, coloquemos dydx. É fácil tirar o limite de dy porque já temos a equação de y pronta, de fato colocaremos 2x ali.
 
Os limites de x vão de 0 até 3, já que estamos discutindo apenas do primeiro octante.

Volume encontrado! Fim de questão.

Sólido 24: z = 4-x²; x+y=2; x = 0, y = 0, z = 0
Acreditem, a do cilindro era a pior, essa é muito mais fácil. É só montar tabelinha:
Plano xz: se z = 4-x²; x = 0, z = 4; quando x = 1, z = 3; quando x = 2, z = 0.
Plano xy: se x=2-y; quando x = 0, y = 2; quando x = 1, y = 1; quando x = 2, y = 0.
A mesma associação do plano xz se faz para yz.
 
(perdão pelo desenho magnífico)

Para montar as integrais, lembremos que f(z) é (4-x²), e f(y) de um modo que se capture o x apenas é 2-x, e que o máximo de x é 2. Todos eles começam em 0 como especificado pelo início do exercício, nenhum segredo quanto aos limites de baixo.
 
20/3uV, não que pareça indispensável nas provas, mas é sempre bom ressaltar.

Sólido 25: 2x+y+z=4; x = 0, y = 0, z = 0
Easiest. Uma só equação, e pra usá-la efetivamente, basta esquecer um dos planos.
Plano xy: 2x+y=4; x = 0, y = 4; x = 1, y = 2; x = 2, y = 0;
Plano xz: 2x+z=4; x = 0, z = 4; x = 1, z = 2; x = 2, z = 0;
Plano yz: y+z=4; y = 0, z = 4; y = 1, z = 3; y = 2, z = 2; y = 3, z = 1; y = 4, z = 0;

Se você fizer o desenho, vai ficar algo assim:
 
As integrais, bem, f(z) -> 2x+y+z=4 -> z = 4-2x-y. Essa é a função que usaremos na integral, já que começaremos por f(z). Se vamos usar dy depois, a função para y (ESQUECENDO o plano z assim como fizemos para traçar xy) é 2x+y=4 -> y=4-2x. E bem, x vai até 2.
Lembrando que, mais uma vez, o exercício especificou que as variáveis são iniciadas em 0. E pela figura, não é muito difícil presumir.
 

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3. Calcular o volume do sólido delimitado pelo parabolóide z = 4-x²-y² e o plano xy. Sugestão: use coordenadas polares.
Bem, é a mais fácil. Acho bem difícil fazer sem coordenadas polares, então seguirei à risca a sugestão. E também vou presumir que vocês pegaram a geometria analítica, porque seria mais um longo post pra lembrar ela todinha.
Analisando a questão, temos um parabolóide de boca pra baixo cuja altura máxima é 4 e raio máximo 2 (quando z é 0, x²+y²=4, logo raio é a raíz de 4).
De acordo com as coordenadas polares, não há dydx convencional e sim rdrdϴ, o que implica numa radical troca de limites também. Se o primeiro limite variava entre x e y, agora o limite de dr é fixamente de 0 ao raio, e o limite de dϴ é fixamente o ângulo do giro do sólido (por exemplo, no caso de um parabolóide completo como esse, o giro é de 360°).
Se sabemos que o raio é 2, e que a volta é de 360° (2π), só falta saber uma coisa: o que fazemos com x e y? Bem, x é rcos(ϴ), y é rsen(ϴ), só substituir.
 
Honestamente, acredito que coordenadas polares seja o mais fácil dos conteúdos, porque você pode esboçar o desenho na cabeça. De qualquer forma, há uma lista específica para essas coordenadas que veremos logo a seguir.
Se acha que ainda não dominou as integrais duplas, treine um pouco mais os exercícios antes do 3 porque sem entender as duplas você nem chega perto de resolver as triplas. E a prova do bimestre não exigiu muito a construção de sólidos irregulares, mas não se sabe quanto ao exame.

E NÃO SE PREOCUPEM com o fato dessa lista nem ser muito pedida pelo professor. Eu já tenho até a de Cg pronta, e a de integrais triplas quase pronta, termino ainda hoje. Vejo se consigo terminar todas as listas até amanhã à noite.